Тригонометрические формулы

Представляем вашему вниманию различные формулы, связанные с тригонометрией.

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус
(3) Основное тождество через котангенс и синус
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7) Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α)
1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg2(α) – 1
  2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности
(14) Котангенс суммы/разности
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(αβ))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)  Сумма/разность синуса и косинуса
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2


Формулы общего вида

(1) Формула понижения nй четной степени синуса
(2) Формула понижения nй четной степени косинуса
(3) Формула понижения nй нечетной степени синуса
(4) Формула понижения nй нечетной степени косинуса


Версия для печати — версия для печати
Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.
Дополнение
Таблица производных





Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.


© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016