Аксиоматика рациональных чисел

Опр.: Рациональное число — минимальное расширение кольца целых чисел

Первичные термины

1. Q — множество, элементы которого называются рациональными числами
2. + и * — бинарные операции на множестве Q, соответственно, сложение и умножение*
3. Z — подмножество Q
4. +' и *' — бинарные операции на Z

Аксиомы рациональных чисел

1. (ассоциативность сложения)
2. (коммутативность сложения)
3. (существование нейтрального по сложению элемента)
4. (существование обратного элемента)
5. (ассоциативность умножения)
6. (коммутативность умножения)
7. (дистрибутивность сложения относительно умножения)
9. (существование кольца целых чисел)
10. (эквивалентность сложения в Z и Q)
11. (эквивалентность умножения в Z и Q)
12. (аксиома минимальности)

¹ Некоторые авторы выделяют особую аксиому о существовании и единственности единственного числа, равного сумме (произведению) двух заданных чисел. Однако само определение бинарной операции предполагает существование и единственность такого числа, поэтому, так как аксиома по сути содержится в первичном термине, мы её опускаем.