Точные значения синуса и косинуса есть только для 30°, 45° и 60°?

Нет. Точное выражение через квадратные корни существует у всех углов, кратных 3 градусам, — их тридцать в первой четверти. Просто у большинства оно громоздко, и в учебники его не ставят.

Можно ли записать точное значение sin 1°?

Через радикалы — можно, через одни квадратные корни — нельзя, и это доказано. Степень минимального многочлена для косинуса 1 градуса равна 48, а это не степень двойки. По теореме Гаусса—Ванцеля такой угол не строится циркулем и линейкой. Для 3 градусов степень равна 16 = 2⁴ — и потому всё, что есть в таблице выше, записано одними квадратными корнями.

Почему именно 3 градуса — наименьший «хороший» угол?

3° = 360°/120, а 120 = 2³·3·5, где 3 и 5 — простые числа Ферма. Именно это условие теоремы Гаусса—Ванцеля и делает угол построимым. У 1° знаменатель 360 = 2³·3²·5 содержит квадрат тройки, и условие нарушается.

Какие углы в целых градусах можно построить циркулем и линейкой?

Ровно те, число градусов которых делится на три, — их сто двадцать из трёхсот шестидесяти. Угол в 1° и угол в 2° построить нельзя, угол в 3° можно. Правило проверено во всех 360 случаях двумя независимыми способами; доказательство приведено на странице.

Как проверить найденное где-то выражение для, скажем, cos 21°?

Сравнить с десятичным значением. Для cos 21° это 0,933580426497201748990043063139. Если выражение даёт другое число — оно неверно, каким бы правдоподобным ни выглядело. Именно так мы проверили все шестьдесят выражений на этой странице.

Точные значения синуса и косинуса для углов, кратных 3°

В учебниках печатают пять углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. На деле точное выражение через квадратные корни есть у всех тридцати углов первой четверти, кратных трём градусам. Ниже они все.

Точные значения

Угол	sin	cos
3°	$\frac{- \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{30}}{16}$	$\frac{- \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$
6°	$\frac{- \sqrt{5} - 1 + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$	$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{15}}{8}$
9°	$\frac{- 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{10}}{8}$	$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10} + 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
12°	$\frac{- \sqrt{15} + \sqrt{3} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{8}$	$\frac{-1 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$
15°	$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$	$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
18°	$\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$	$\frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}$
21°	$\frac{- \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$	$\frac{- \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$
24°	$\frac{- \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{3} + \sqrt{15}}{8}$	$\frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
27°	$\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$	$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10} + 2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
33°	$\frac{- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$	$\frac{- \sqrt{30} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$
36°	$\frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$
39°	$\frac{- \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{30}}{16}$	$\frac{- \sqrt{10} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$
42°	$- \frac{- \sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - 1 + \sqrt{5}}{8}$	$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{15}}{8}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
48°	$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{15}}{8}$	$- \frac{- \sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - 1 + \sqrt{5}}{8}$
51°	$\frac{- \sqrt{10} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$	$\frac{- \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{30}}{16}$
54°	$\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$	$\frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}$
57°	$\frac{- \sqrt{30} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$	$\frac{- \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
63°	$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10} + 2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$	$\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$
66°	$\frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$	$\frac{- \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{3} + \sqrt{15}}{8}$
69°	$\frac{- \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$	$\frac{- \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{6} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16}$
72°	$\frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{4}$	$\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$
75°	$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$	$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
78°	$\frac{-1 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8}$	$\frac{- \sqrt{15} + \sqrt{3} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{8}$
81°	$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10} + 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$	$\frac{- 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} + \sqrt{10}}{8}$
84°	$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{15}}{8}$	$\frac{- \sqrt{5} - 1 + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}$
87°	$\frac{- \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16}$	$\frac{- \sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{30}}{16}$
90°	$1$	$0$

Те же значения на 30 знаков

Чтобы проверить любое выражение, найденное где угодно, довольно сравнить его с этими числами.

Угол	sin	cos
3°	0,0523359562429438327221186296091	0,998629534754573873784492058439
6°	0,104528463267653471399834154803	0,994521895368273336922691944981
9°	0,156434465040230869010105319467	0,987688340595137726190040247693
12°	0,207911690817759337101742284405	0,978147600733805637928566747870
15°	0,258819045102520762348898837624	0,965925826289068286749743199729
18°	0,309016994374947424102293417183	0,951056516295153572116439333379
21°	0,358367949545300273484137789413	0,933580426497201748990043063140
24°	0,406736643075800207753985990342	0,913545457642600895502127571985
27°	0,453990499739546791560408366358	0,891006524188367862359709571414
30°	0,500000000000000000000000000000	0,866025403784438646763723170753
33°	0,544639035015027082224083692082	0,838670567945424029637590941805
36°	0,587785252292473129168705954639	0,809016994374947424102293417183
39°	0,629320391049837452705902458280	0,777145961456970879979937743672
42°	0,669130606358858213826273330687	0,743144825477394235014697048974
45°	0,707106781186547524400844362105	0,707106781186547524400844362105
48°	0,743144825477394235014697048974	0,669130606358858213826273330687
51°	0,777145961456970879979937743672	0,629320391049837452705902458280
54°	0,809016994374947424102293417183	0,587785252292473129168705954639
57°	0,838670567945424029637590941805	0,544639035015027082224083692082
60°	0,866025403784438646763723170753	0,500000000000000000000000000000
63°	0,891006524188367862359709571414	0,453990499739546791560408366358
66°	0,913545457642600895502127571985	0,406736643075800207753985990342
69°	0,933580426497201748990043063140	0,358367949545300273484137789413
72°	0,951056516295153572116439333379	0,309016994374947424102293417183
75°	0,965925826289068286749743199729	0,258819045102520762348898837624
78°	0,978147600733805637928566747870	0,207911690817759337101742284405
81°	0,987688340595137726190040247693	0,156434465040230869010105319467
84°	0,994521895368273336922691944981	0,104528463267653471399834154803
87°	0,998629534754573873784492058439	0,0523359562429438327221186296091
90°	1,00000000000000000000000000000	0

Какие углы в целых градусах строятся циркулем и линейкой

Из трёхсот шестидесяти углов в целых градусах циркулем и линейкой строятся ровно сто двадцать — те и только те, число градусов которых делится на три. Угол в 1° построить нельзя, в 2° нельзя, в 3° можно.

Отсюда и границы этой страницы: таблица выше начинается с трёх градусов не по прихоти, а потому, что меньшего шага в целых градусах не существует.

Угол	Степень минимального многочлена косинуса	Строится ли
1°	48 = 2⁴·3	нет
2°	24 = 2³·3	нет
3°	16 = 2⁴	да
5°	12 = 2²·3	нет
6°	8 = 2³	да
9°	8 = 2³	да
15°	4 = 2²	да
30°, 45°	2	да
60°, 90°, 120°	1	да

Правило «делится на три» и степени в этой таблице посчитаны двумя независимыми способами и сошлись во всех 360 случаях: по формуле через функцию Эйлера и прямым построением минимального многочлена. Доказательство — ниже.

Что обычно пишут неверно

Ходячее утверждение	Как на самом деле
Точные значения синуса и косинуса есть только для 30°, 45° и 60°?	Нет. Точное выражение через квадратные корни существует у всех углов, кратных 3 градусам, — их тридцать в первой четверти. Просто у большинства оно громоздко, и в учебники его не ставят.
Можно ли записать точное значение sin 1°?	Через радикалы — можно, через одни квадратные корни — нельзя, и это доказано. Степень минимального многочлена для косинуса 1 градуса равна 48, а это не степень двойки. По теореме Гаусса—Ванцеля такой угол не строится циркулем и линейкой. Для 3 градусов степень равна 16 = 2⁴ — и потому всё, что есть в таблице выше, записано одними квадратными корнями.
Почему именно 3 градуса — наименьший «хороший» угол?	3° = 360°/120, а 120 = 2³·3·5, где 3 и 5 — простые числа Ферма. Именно это условие теоремы Гаусса—Ванцеля и делает угол построимым. У 1° знаменатель 360 = 2³·3²·5 содержит квадрат тройки, и условие нарушается.
Какие углы в целых градусах можно построить циркулем и линейкой?	Ровно те, число градусов которых делится на три, — их сто двадцать из трёхсот шестидесяти. Угол в 1° и угол в 2° построить нельзя, угол в 3° можно. Правило проверено во всех 360 случаях двумя независимыми способами; доказательство приведено на странице.
Как проверить найденное где-то выражение для, скажем, cos 21°?	Сравнить с десятичным значением. Для cos 21° это 0,933580426497201748990043063139. Если выражение даёт другое число — оно неверно, каким бы правдоподобным ни выглядело. Именно так мы проверили все шестьдесят выражений на этой странице.

Открыть: как это посчитано и проверено

Опорой служат четыре классических значения: косинус и синус 15° и 18°. Всякий угол, кратный трём градусам, представим как a·15° + b·18° с небольшими целыми a и b: скажем, 21° = 2·18° − 15°. Формула сложения даёт из этого выражение для любого угла таблицы.

Из нескольких равносильных записей выбирается самая короткая — поэтому в таблице стоят дроби со знаменателем 16, а не развёрнутые суммы из восьми слагаемых.

Проверка. Каждое из шестидесяти выражений сверено с эталонным значением с точностью до 55 знаков после запятой. Не сошлось бы хоть одно — файл с данными не был бы записан вовсе: сборщик падает и ничего не пишет. Поэтому значения на этой странице нельзя поправить руками: правка руками ломает доказательство, править надо сборщик.

Степени минимальных многочленов для косинусов 1° и 3° вычислены тем же прогоном.

Чем набраны формулы. Разметкой MathML, которую браузеры понимают сами. На этой странице нет ни одной строчки JavaScript: формулы не рисуются скриптом и не вставлены картинками. Поэтому они видны при отключённых скриптах, читаются вслух средствами чтения с экрана и остаются формулами для машины — их можно разобрать, а не только посмотреть.

Углов в таблице	30 (все кратные 3° от 3° до 90°)
Проверенных выражений	60 — синус и косинус для каждого
Точность сверки	55 знаков после запятой
Не сошлось	ни одного

Открыть расширенные материалы: теорема Гаусса—Ванцеля с доказательством

Формулировка

Теорема Гаусса—Ванцеля. Правильный m-угольник (равносильно: угол, равный полному обороту, делённому на m) строится циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда m = 2^k·p₁·…·p_s, где p_i — различные простые числа Ферма, то есть простые вида 2^{2^t} + 1. Известные простые Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537.

Лемма, на которую мы опираемся, и её доказательство

Лемма. Если число α построимо циркулем и линейкой, то степень [Q(α):Q] — степень двойки.

Доказательство. Построение есть конечная последовательность шагов. На каждом шаге новая точка получается как пересечение двух прямых, прямой и окружности либо двух окружностей, проведённых через уже построенные точки. Уравнение прямой через построенные точки линейно, уравнение окружности — второй степени, а коэффициенты и там и там принадлежат полю K, порождённому уже построенными величинами.

Пересечение двух прямых даёт решение линейной системы — координаты остаются в K. Пересечение прямой с окружностью и пересечение двух окружностей (разность их уравнений линейна) сводятся к квадратному уравнению над K. Значит, каждый шаг даёт расширение K′ / K степени 1 или 2.

После n шагов получается башня Q = K₀ ⊂ K₁ ⊂ … ⊂ K_n, в которой каждая ступень имеет степень 1 или 2. По мультипликативности степеней [K_n:Q] = 2^t. Построенное число α лежит в K_n, поэтому Q(α) ⊆ K_n, а [Q(α):Q] делит 2^t — значит, само является степенью двойки. ∎

Как отсюда получается наше правило

Для m > 2 известно, что [Q(cos(2π/m)):Q] = φ(m)/2, где φ — функция Эйлера. Угол в n градусов есть полный оборот, делённый на m = 360 / НОД(n, 360).

По лемме построимость требует, чтобы φ(m)/2 была степенью двойки, то есть чтобы φ(m) была степенью двойки, а это равносильно виду m = 2^a · (произведение различных простых Ферма).

Число 360 = 2³·3²·5. Делитель m = 360 / НОД(n, 360) имеет нужный вид тогда и только тогда, когда тройка входит в него не более чем в первой степени, то есть когда m не делится на 9. А 360/НОД(n, 360) не делится на 9 в точности тогда, когда НОД(n, 360) делится на 3, то есть когда n делится на 3. Таких n среди 1…360 ровно 120. ∎

Почему для 3° мы НЕ ссылаемся на теорему

Лемма запрещает построение, но сама по себе его не разрешает: степень двойки — условие необходимое. Обратную часть теоремы Гаусса мы не используем, и вот почему: для трёх градусов у нас есть доказательство сильнее ссылки. В таблице выше стоит явное выражение cos 3° через одни квадратные корни, а всякая величина, записанная целыми, четырьмя действиями и квадратными корнями, строится циркулем и линейкой — извлечение квадратного корня есть классическое построение среднего пропорционального. Это конструктивное доказательство: не «теорема разрешает», а «вот построение».

Что здесь чьё

Формулировка теоремы и лемма о башне квадратичных расширений классические. Наше здесь: применение к целым градусам, вычисленные степени, сверка правила во всех 360 случаях двумя независимыми способами и явные выражения через квадратные корни, которыми построимость 3° доказывается напрямую.

Что здесь чьё

У этой страницы нет чужих источников, и это не упущение. Числа здесь не взяты откуда-то, а получены счётом, и каждое проверено. Из чужого — только классическая теорема Гаусса—Ванцеля о построимых углах, которая ничего не утверждает о наших числах: она объясняет, почему таблица начинается с трёх градусов, а не с одного.

Данные можно забрать

Таблица выложена машиночитаемым файлом: CSV и JSON — с выражениями, десятичными значениями и точностью сверки. Условия — лицензия: брать можно, назвать источник обязательно.

Рядом на сайте: таблица синусов и косинусов для известных углов и тригонометрические формулы.

Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.