Тригонометрические формулы

Представляем вашему вниманию различные формулы, связанные с тригонометрией.

(1)

Основное тригонометрическое тождество

sin²(α) + cos²(α) = 1

(2)

Основное тождество через тангенс и косинус

(3)

Основное тождество через котангенс и синус

(4)

Соотношение между тангенсом и котангенсом

tg(α)ctg(α) = 1

(5)

Синус двойного угла

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

(6)

Косинус двойного угла

cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α)

(7)

Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α)

1 – tg²(α)

(8)

Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg²(α) – 1

2ctg(α)

(9)

Синус тройного угла

sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α)

(10)

Косинус тройного угла

cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α)

(11)

Косинус суммы/разности

cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)

(12)

Синус суммы/разности

sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13)

Тангенс суммы/разности

(14)

Котангенс суммы/разности

(15)

Произведение синусов

sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))

(16)

Произведение косинусов

cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))

(17)

Произведение синуса на косинус

sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))

(18)

Сумма/разность синусов

sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))

(19)

Сумма косинусов

cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))

(20)

Разность косинусов

cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21)

Сумма/разность тангенсов

(22)

Формула понижения степени синуса

sin²(α) = ½(1 – cos(2α))

(23)

Формула понижения степени косинуса

cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

Сумма/разность синуса и косинуса

(25)

Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами

(26)

Основное соотношение арксинуса и арккосинуса

arcsin(x) + arccos(x) = π/2

(27)

Основное соотношение арктангенса и арккотангенса

arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы общего вида

(1)	Формула понижения n^й четной степени синуса
(2)	Формула понижения n^й четной степени косинуса
(3)	Формула понижения n^й нечетной степени синуса
(4)	Формула понижения n^й нечетной степени косинуса

— версия для печати

Определения: Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.

: Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.

: Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).

: Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).

: Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).

Примечание: Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.

Подсказка: Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.

Дополнение: Таблица производных

Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.